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목록2017/04/13 (5)
수악중독
그림과 같이 $\overline{\rm AB}=4, \;\; \overline{\rm BC}=3$, $\angle{\rm B}=90^{\rm o}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 의 변 $\rm AB$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$ 인 원 $O$ 가 있다. $\overline{\rm AP}=x\;\; (0
자연수 $n$ 에 대하여 $0$ 부터 $n$ 까지의 정수가 하나씩 적힌 $(n+1)$ 개의 공이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 한 개의 공을 꺼내어 공에 적힌 수를 확인하고 다시 넣는 과정을 $5$ 번 반복할 때, 확인한 $5$ 개의 수가 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 $a_n$ 이라 하자. (가) 꺼낸 공에 적힌 수는 먼저 꺼낸 공에 적힌 수보다 작지 않다.(나) 세 번째 꺼낸 공에 적힌 수는 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수보다 $1$ 이 더 크다. $\sum \limits_{n=1}^{18} \dfrac{a_n}{n+2}$ 의 값을 구하시오. 정답 $760$
그림과 같이 길이가 $1$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overline{\rm BP}=\overline{\rm BC}$ 가 되도록 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm C$를 잡고 $\overline{\rm AC}=\overline{\rm AD}$ 가 되도록 선분 $\rm AP$ 위의 점 $\rm D$ 를 잡는다. $\angle {\rm PAB}=\theta$ 에 대하여 선분 $\rm CD$ 를 반지름으로 하고 중심각의 크기가 $\angle {\rm PCD}$ 인 부채꼴의 넓이를 $S(\theta)$, 선분 $\rm CP$ 를 반지름으로 하고 중심각의 크기가 $\angle {\rm PCD}$ 인 부채꼴의 넓이를 $T(..
좌표평면에서 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 두 곡선 $y=3^x-n$, $y=\log_3(x+n)$ 으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 자연수인 점의 개수가 $4$ 가 되도록 하는 자연수 $n$ 의 개수를 구하시오. 정답 $16$
최고차항의 계수가 $1$ 인 다항함수 $f(x)$ 와 $$g(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $f(x)=0$ 의 실근은 $0$ 과 $2$ 뿐이고 허근은 존재하지 않는다. (나) $\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)^3}{f(x)}$ 이 존재한다.(다) 함수 $\left | \dfrac{g(x)}{x} \right |$ 는 $x=\dfrac{5}{4}$ 에서 연속이고 미분가능하지 않다. 함수 $g(x)$ 의 극솟값을 $k$ 라 할 때, $27k$ 의 값을 구하시오. 정답 $50$