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수악중독
닫힌 구간 $[-2, \; 2]$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 는 $$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll} {x + 2}&{( - 2 \le x \le 0)}\\ { - x + 2}&{\left( {0 1$ 인 실수 $k$ 에 대하여 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 타원 $\dfrac{x^2}{k^2}+y^2=1$ 이 만나는 서로 다른 점의 개수를 $g(k)$ 라 하자. 함수 $g(k)$ 가 불연속이 되는 모든 $ k$ 값들의 제곱의 합은? ① $6$ ② $\dfrac{25}{4}$ ③ $\dfrac{13}{2}$ ④ $\dfrac{27}{4}$ ⑤ $7$..
주머니에 $1$ 부터 $10$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $10$ 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $5$ 개의 공을 동시에 꺼낼 때 꺼낸 공에 적혀 있는 자연수 중 연속된 자연수의 최대 개수가 $3$ 인 사건을 $A$ 라 하자. 예를 들어, 은 연속된 자연수의 최대 개수가 $3$ 이므로 사건 $A$ 에 속하고, 은 연속된 자연수의 최대 개수가 $2$ 이므로 사건 $A$ 에 속하지 않는다. 사건 $A$ 가 일어날 확률은? ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{3}{14}$ ③ $\dfrac{11}{42}$ ④ $\dfrac{13}{42}$ ⑤ $\dfrac{5}{14}$ 정답 ⑤
그림과 같이 함수 $f(x)=\sqrt{x \left ( x^2 +1 \right ) \sin \left( x^2 \right )}\;\; \left (0 \le x \le \sqrt{\pi} \right )$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 와 $ x$ 축으로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 두 점 ${\rm P}(x, \; 0)$, ${\rm Q}(x, \; f(x))$ 를 지나고 $x$ 축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면이 선분 $\rm PQ$ 를 한 변으로 하는 정삼각형이다. 이 입체도형의 부피는?① $\dfrac{\sqrt{3}(\pi+2)}{8}$ ② $\dfrac{\sqrt{3}(\pi+3)}{8}$ ③ $\dfrac{\sqrt{3}(\pi+4)}{8}$ ④ $\dfr..
양의 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y= \ln x$ 위의 두 점 ${\rm P}(t, \; \ln t)$, ${\rm Q}(2t, \; \ln 2t)$ 에서의 접선이 $ x$ 축과 만나는 점을 각각 ${\rm R}(r(t), \; 0)$, ${\rm S}(s(t), \; 0) $ 이라 하자. 함수 $ f(t)$ 를 $f(t)=r(t)-s(t)$ 라 할 때, 함수 $f(t)$ 의 극솟값은? ① $-\dfrac{1}{2}$ ② $-\dfrac{1}{3}$ ③ $-\dfrac{1}{4}$ ④ $-\dfrac{1}{5}$ ⑤ $-\dfrac{1}{6}$ 정답 ③
그림과 같이 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1$ 의 두 초점 중 $x$ 좌표가 양수인 점을 $\rm F$, 음수인 점을 $\rm F'$ 이라 하자. 타원 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 선분 $\rm PF'$ 의 중점 $\rm M$ 의 좌표가 $ (0, \; 1)$ 이고 $\rm \overline{PM}=\overline{PF} $ 일 때, $a^2+ b^2$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) ① $14$ ② $15$ ③ $ 16$ ④ $17$ ⑤ $18$ 정답 ②
함수 $f(x)=xe^{-2x+1}$ 에 대하여 함수 $$g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{cl}{f(x) - a}&{(x > b)}\\0&{\left( {x \le b} \right)}\end{array}} \right.$$ 가 실수 전체에서 미분가능할 때, 두 상수 $a,\; b$ 의 곱 $ab$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{10}$ ② $\dfrac{1}{8}$ ③ $\dfrac{1}{6}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 정답 ④
$1$ 부터 $7$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $7$ 개의 공이 들어 있는 상자에서 임의로 $1$ 개의 공을 꺼내는 시행을 반복할 때, 짝수가 적혀 있는 공을 모두 꺼내면 시행을 멈춘다. $5$ 번째까지 시행을 한 후 시행을 멈출 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.) ① $\dfrac{6}{35}$ ② $\dfrac{1}{5}$ ③ $\dfrac{8}{35}$ ④ $\dfrac{9}{35}$ ⑤ $\dfrac{2}{7}$ 정답 ①
다음은 모든 실수 $x$ 에 대하여 $2x-1 \ge ke^{x^2}$ 을 성립시키는 실수 $k$ 의 최댓값을 구하는 과정이다. $f(x)=(2x-1)e^{-x^2}$ 이라 하자. $f'(x)=(가)\times e^{-x^2}$$f'(x)=0$ 에서 $x=-\dfrac{1}{2}$ 또는 $x=1$함수 $f(x)$ 의 증가와 감소를 조사하면함수 $f(x)$ 의 극솟값은 $(나)$ 이다.또한 $\lim \limits_{x \to \infty} f(x)=0, \; \lim \limits_{x \to - \infty} f(x)=0$ 이므로함수 $y=f(x)$ 의 그래프의 개형을 그리면함수 $f(x)$ 의 최솟값은 $(나)$ 이다.따라서 $2x-1 \ge k e^{x^2}$ 을 성립시키는 실수 $k$ 의 최댓값은..
명제와 조건 명제의 역과 대우 필요조건과 충분조건 명제 '$p \to q$' 가 참일 때, 즉 '$p \Rightarrow q$' 일 때 $p$ 는 $q$ 이기 위한 충분조건 $q$ 는 $p$ 이기 위한 필요조건 이라고 한다. 여기에서 대해서 이렇다 저렇다 여러 가지 설명들이 붙지만, 사실 그 설명들을 보고 이해하는 학생들을 거의 본 적이 없으므로 다음과 같이 알고 있는 것이 가장 좋다고 생각된다. $p \Rightarrow q$ 에서 $p$ 는 $q$ 에서 화살을 줬네. 왜 줬을까? 충분하니까 줬겠지. 따라서 '충분조건' $p \Rightarrow q$ 에서 $q$ 는 $p$ 에게 화살을 받았네. 왜 받았을까? 필요하니까 받았겠지. 따라서 '필요조건' 또한 $p$ 의 진리집합 $P$ 와 $q$ 의 진리..
그림과 같이 타원 $\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1 \;(a>\sqrt{2})$ 의 두 초점을 $\rm F, \; F'$ 이라 하자. 이 타원이 선분 $\rm FF'$ 을 지름으로 하는 원과 만나는 점 중 제2사분면에 있는 점을 $\rm P$ 라 하고, 직선 $\rm PF'$ 이 이 타원과 만나는 점 중 $\rm P$ 가 아닌 점을 $\rm Q$ 라 하자. 점 $\rm F'$ 이 선분 $\rm PQ$ 를 $2:1$ 로 내분할 때, $20a^2$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\rm F$ 의 $x$ 좌표는 양수이다.) 정답 $45$