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수악중독
주머니에 흰 공 $1$ 개, 검은 공 $2$ 개가 들어있다. $\rm A, \; B$ 두 사람이 차례로 $1$ 개의 주사위를 한 번씩 던질 때 나오는 눈의 수를 각각 $a, \; b$ 라 하자. 이때 $a>b$ 이면 $\rm A$ 가 주머니에서 공을 임의로 $1$ 개 꺼내고, $a \le b$ 이면 $\rm B$ 가 주머니에서 임의로 $2$ 개의 공을 동시에 꺼낸다. 이 시행에서 흰 공이 나왔을 때, $a=5$ 이었을 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $65$
함수 $f(x)= \left | x^2 -x -2 \right |$ 와 실수 $t$ 에 대하여 닫힌 구간 $[t-1, \; t]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $g(0)=g(2)$ㄴ. 함수 $g(t)$는 $t=1$ 에서 미분가능하다.ㄷ. $\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(1+h)-g(1-h)}{h}$ 의 값이 존재한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ④
그림과 같이 직선 $l$ 을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가 $\dfrac{\pi}{3}$ 인 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 있고, 평면 $\alpha$ 위의 점 $\rm A$ 와 평면 $\beta$ 위의 점 $\rm B$ 가 있다. 점 $\rm A$ 에서 평면 $\beta$ 에 내린 수선의 발을 $\rm A'$, 점 $\rm B$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발을 $\rm B'$ 이라 하자. $\overline{\rm AA'} = \sqrt{3}$, $\overline{\rm BB'}=\sqrt{3}$, $\overline{\rm A'B'}=\sqrt{2}$ 일 때, 사면체 $\rm AA'B'B$ 의 부피는? ① $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ② $\dfrac{..
다음 그림과 같이 극댓값 $1$ 을 갖는 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 $g(x) = \displaystyle \int_x^{x+2} f(t) dt$ 라 하면 함수 $g(x)$ 는 $x=\alpha$ 에서 극댓값과 $x=\beta$ 에서 극솟값을 갖는다. 다음 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $\alpha, \; \beta$는 실수이다.)ㄱ. $\alpha=0$ 이다.ㄴ. 방정식 $g(x)=1$ 은 서로 다른 실근 $2$ 개를 갖는다.ㄷ. $\dfrac{g(\alpha)+g(\beta)}{2} = f(\beta)$ ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
좌표평면 위에 점 ${\rm P}_1(1, \; 0)$ 이 있다. 자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm P}_n$의 좌표를 $(x_n, \; y_n)$이라 할 때, $x_n + y_n$ 을 $3$ 으로 나누었을 때의 나머지 $r_n$ 의 값에 따라 다음과 같이 점 ${\rm P}_{n+1}$ 을 정한다. (가) $r_n=1$ 이면 점 ${\rm P}_n$ 을 $x$ 축의 방향으로 $1$ 만큼 평행이동시킨 점을 ${\rm P}_{n+1}$ 이라 한다. (나) $r_n=2$ 이면 점 ${\rm P}_n$ 을 $x$ 축의 방향으로 $2$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $2$ 만큼 평행이동시킨 점을 ${\rm P}_{n+1}$ 이라 한다. (다) $r_n=0$ 이면 점 ${\rm P}_n$ 을 $x$ 축의 방향..
다음 조건을 만족시키는 $1000$ 이하의 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. (가) $\log_2 \dfrac{n}{3}$ 은 정수이다.(나) $9n$ 의 세제곱근 중 하나는 자연수이다. 정답 $219$
자연수 $n$ 에 대하여 두 명제 $p, \; q$ 가 다음과 같다. $p$ : 모든 실수 $x$ 에 대하여 $x^2-2nx+n^2+4n-a-b \ge 0$ 이다. $q$ : 어떤 실수 $x$ 에 대하여 $x^2 - (a+b)x+n^2 \le 0$ 이다. 두 명제 $p, \; q$ 가 모두 참이 되도록 하는 음의 아닌 두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 좌표평면에서 점 ${\rm P}(a, \; b)$ 가 나타내는 영역의 넓이를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{k=1}^{10} \dfrac{a_k}{11}$ 의 값을 구하시오. 정답 $210$
닫힌 구간 $[-3, \; 3]$ 에서 증가하는 연속함수 $f(x)$ 가 이 구간의 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(-x)=-f(x)$ 를 만족시킨다. 함수 $F(x)$ 를 $$F(x) = \displaystyle \int_0^x |f(t)| dt $$ 라 할 때, $F(3)=1$ 이다. $\displaystyle \int_{-3}^3 f(x) f ( F(x) ) dx = \dfrac{1}{10}$ 일 때, $F(1)$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{20}$ ② $\dfrac{1}{25}$ ③ $\dfrac{1}{30}$ ④ $\dfrac{1}{35}$ ⑤ $\dfrac{1}{40}$ 정답 ①
그림과 같이 중심이 $\rm O$ 이고 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. $\left | \overrightarrow{\rm OA} \right | = 1$ 일 때, 반원 위의 두 점 $\rm C, \; D$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\rm OC} \cdot \overrightarrow{\rm BA}=1$(나) $\left | \overrightarrow{\rm OC}- \overrightarrow{\rm OD} \right | = \sqrt{2}$ $\overrightarrow{\rm AC} \cdot \overrightarrow{\rm BD} = a + b \sqrt{3}$ 일 때, $32 \left (a^2 +b^2 \right )$ 의 ..
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 정의역이 $\{x \; | \; x>0\}$ 인 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ 라고 정의하자. 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$ 는 $x=2$ 에서 변곡점을 갖고 변곡점에서의 접선의 기울기는 양수이다. (나) 함수 $g(x)$ 가 극값을 갖는 서로 다른 $x$ 의 값의 개수는 $2$ 이다. $f(1)>k$ 를 만족시키는 $k$ 의 최댓값을 $M$ 이라 할 때, $M^2$ 의 값을 구하시오. (단, $f(2)>0$) 정답 $1$