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수악중독
각 면에 $0, \; 1, \; 2, \; 3, \; 4$ 의 숫자가 각각 $2$ 개, $4$ 개, $3$ 개, $2$ 개, $1$ 개 씩 적혀있는 정십이면체가 있다. 이 정십이면체를 $32$번 던져 바닥에 접하는 숫자들의 평균을 $\overline{X}$ 라고 할 때, ${\rm P} \left ( \overline{X} \ge k \right ) = 0.1587$ 을 만족시키는 상수 $k$ 의 값을 구하여라. (단, ${\rm P} (0 \le Z \le 1)=0.3413$ 이다.) 정답 $\dfrac{15}{8}$ 정십이면체를 던져 바닥에 접하는 숫자를 확률변수 $X$ 라고 하면 $X$ 의 확률분포는 아래 표와 같다. $X$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ ${\rm P}(X)$ $\dfrac{..
정수 $a, \; b, \; m$ 에 대하여 $m \; | \; (a-b)$ (즉, 적당한 정수 $k$ 에 대하여 $a-b=km$) 일 때, $a \equiv b \; ({\rm mod} \;m)$ 이라고 쓴다. 합동식의 기본성질 양의 정수 $m, \; n, \; k$ 와 임의의 정수 $a, \; b, \; c, \; d$ 에 대하여 다음이 성립한다. (1) $a \equiv a \; ({\rm mod}\; m)$ $a-a=0$ 이고, $m \cdot 0 =0$ 이므로 $m\; | \; 0$ 이다. 따라서 $a \equiv a \; ({\rm mod} \; m)$ 이다. (2) $a \equiv b\; ({\rm mod}\; m)$ 이면 $b \equiv a \; ({\rm mod} \; m)$ 이다. ..
$f(1)=f'(1)$ 이고 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 $x \ge -1$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge f'(x)$ 를 만족시킬 때, $f(2)$ 의 최솟값을 구하시오. 정답 $26$
구 $S\; : \; x^2+y^2+z^2=24$ 와 평면 $\alpha \; : \; x+2y-2z=12$ 가 만나서 생기는 원을 $C_1$ 이라 할 때, 원점 $\rm O$ 를 포함하는 평면 $\beta$ 가 구 $S$ 와 만나서 생기는 원 $C_2$ 가 원 $C_1$ 과 오직 한 점 $\rm A$ 에서 만난다고 하자. 원 $C_1$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 평면 $\beta$ 위로의 정사영을 $\rm H$ 라 할 때, $\left | \overrightarrow{\rm OA} \right |^2 - \left | \overrightarrow{\rm OH} \right |^2 + 2 \overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm AH}$ 의 최댓값..
집합 $X=\{ x \; |\; x$ 는 $5$ 이하의 자연수$\}$ 에서 집합 $Y=\{y \; | \;y$ 는 $25$ 이하의 자연수$\}$ 로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수는? $4$ 이하의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $f(n+1) \le f(n)-2n$ 이 성립한다. ① $124$ ② $125$ ③ $126$ ④ $127$ ⑤ $128$ 정답 ③
구간 $[1, \; 2]$ 에서 연속이고 구간 $(1, \;2)$ 에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대하여 직선 $y=x-t\; \; (0 \le t \le 2)$ 와 곡선 $y=f(x)$ 가 오직 한 점에서 만날 때, 그 점의 $x$ 좌표를 $g(t)$ 라고 하자. 함수 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle \int_1^2 f(x) \; dx = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) (가) $g(t)$ 는 구간 $[0, \; 2]$ 에서 연속이면서 증가하고 $g(0)=1, \; g(2)=2$ 이다.(나) $\displaystyle \int_0^2 g(t) \; dt = \dfrac{19}{6..
그림과 같이 원 $C_1 \; : \; x^2+y^2=9, \; z=0$ 와 $xy$ 평면 위의 직선 $l$ 이 점 $ \rm P$ 에서 접하고, 점 $(0,\; 0,\; 3)$ 을 중심으로 하는 원 $C_2$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영은 단축의 길이가 $2$ 이고 장축의 길이가 $2\sqrt{2}$ 인 타원이다. 원 $C_2$ 위의 점 중 $xy$ 평면까지의 거리가 최대인 점을 $\rm Q$, 원 $C_1$ 위의 점 중 $\rm Q$ 와의 거리가 최소인 점을 $\rm R$ 이라 할 때, 두 점 $\rm Q, \; R$ 을 지나는 평면 중 원 $C_1$ 와 오직 한점에서 만나는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 평면 $\alpha$ 와 직선 $l$ 의 교점을 $\rm S$ 라 할 때, 점 $\rm ..
좌표공간 위에 두 구 $$S_1 \; : \; x^2+y^2+(z+2)^2=4, \;\; S_2\; :\; x^2+y^2+(z-1)^2=1$$에 대하여 원점을 지나지 않는 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 $S_1, \; S_2$ 와 동시에 접하고, 평면 $\alpha$ 와 구 $S_1$ 의 교점을 $\rm P$ 라 할 때, 점 $\rm P$ 는 $yz$ 평면 위에 있고 평면 $\beta$ 는 직선 $\rm OP$ 와 평행하다.평면 $\beta$ 와 $yz$ 평면의 교선을 $l$ 이라 할 때, 직선 $l$ 이 두 구 $S_1, \; S_2$ 와 동시에 접하는 임의의 평면과 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 하자. $\sin \theta$ 의 최댓값이 $\dfrac{q}{p}\sqrt{3..
그림과 같이 중심이 같고 반지름의 길이가 $1, \; 3$ 인 두 원을 각각 밑면으로 하는 두 원기둥의 사이에 반지름의 길이가 $1$ 인 구 $12$ 개가 서로 외접하면서 들어 있다. 아래쪽에 있는 $6$ 개의 구 중에서 서로 외접하는 두 구를 $S_1, \; S_2$ 라고 하고 위쪽에 있는 구 중에서 구 $S_1 \; S_2$ 에 모두 접하는 구를 $S_3$, 두 구 $S_2, \; S_3$ 에 모두 접하는 $S_1$ 이 아닌 구를 $S_4$ 라고 하자. 네 구 $S_1, \; S_2, \; S_3, \; S_4$ 의 중심을 각각 $\rm O_1, \; O_2, \; O_3, \; O_4$ 라고 할 때, 평면 $\rm O_1O_2O_3$ 와 평면 $\rm O_2O_3O_4$ 가 이루는 예각의 크기를 $..
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 와 그 역함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 점 $(3, \; 5)$ 에 대하여 대칭이다.(나) $2 \le x \le 4$ 일 때, $f(x)=\displaystyle \int_x^2 \dfrac{f(6-t)}{t}\; dt + 11 \ln \dfrac{x}{2} + 3$ 이다.(다) $f(5)=10-a $ 를 만족시키는 상수 $a$ 에 대하여 $\displaystyle \int_a^5 \ln g(x) \; dx = 8 \ln 2 + 6 \ln 3 -9$ 이다. $\displaystyle \int_1^4 \dfrac{f(x)}{x} \; dx = p+q \ln 2 $ 일 때, $p^2 + q^2$ 의 ..