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수악중독
실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 $$f(x)= \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n+1}-1}{2x^{2n}+2}, \;\; g(x)=x^2-1$$ 에 대하여 $h(x)=f(x)g(x)$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\lim \limits_{x \to 1+} h(x)=0$ ㄴ. 함수 $h(x)$ 가 미분가능하지 않은 실수 $x$ 의 개수는 $2$ 이다. ㄷ. 실수 $k$ 에 대하여 방정식 $h(x)-k=0$ 의 실근의 개수가 $1$ 일 때, 함수 $|h(x)-k|$ 가 $x=a$ 에서 극소인 실수 $a$ 의 개수는 $2$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
$k$ 가 양의 상수일 때, 함수 $f(x)=k(x-2)e^{-x}$ 과 실수 $m$ 에 대하여 집합 $S$ 를 $$S=\left \{t \; \big | \; f(t)-mt=0, \; t는 \; 양의 \; 실수\right \}$$ 라 하고, 집합 $S$ 의 원소의 개수를 $g(m)$ 이라 하자. 함수 $g(x)$ 는 $x=m_1$ 에서 불연속이고 함수 $f(x)g(x)$ 는 $x=m_1$ 에서 연속일 때, $f \left ( 1 + \sqrt{3} \right )$ 의 값은? ① $1+\sqrt{3}$ ② $2 \left (1 + \sqrt{3} \right )$ ③ $3 \left (1 + \sqrt{3} \right )$ ④ $-1 + \sqrt{3} $ ⑤ $2 \left (-1 + \sqrt{3..
자연수 $n$ 에 대하여 이차부등식 $x^2+x-\dfrac{7}{4}-n
방정식 $x+ \tan x=0$ 의 해 중에서 최소의 양수를 $\alpha$ 라 할 때, 함수 $f(x)$를 $$f(x) = \left \{ \begin{array}{cl} \dfrac{\sin x}{\sin x + x \cos x} & (0
한 주머니에 들어 있는 $9$개의 공을 각각 $x_1, \; x_2, \; x_3, \; \cdots, \; x_9$ 라 하고, 공 $x_i$ 의 부피와 무게를 각각 $V_i, \; m_i$ $(i=1, \; 2, \;3, \; \cdots, \; 9)$ 라 할 때, $$V_1 m_2 > m_3 > \cdots > m_9$$ 가 성립한다. 이 주머니에 들어 있는 $9$개의 공을 임의로 $3$개씩 $3$개의 주머니 $\rm A, \; B, \;C$ 에 나누어 넣을 때, 각 주머니에 들어 있는 공 중 부피가 최대인 공의 부피를 각각 $V_{\rm A}, \; V_{\rm B}, \; V_{\rm C}$ 라 하고, 무게가 최대인 공의 무게를 각각 $m_{\rm A}, \; m_{\rm B}, \; m_{\rm..
양의 정수 $n$ 에 대하여 집합 $A_n$ 을 $$A_n = \{(x_1, \; x_2, \; \cdots, \;x_n)\; |\; x_i \in \{1, \; 2, \; 3, \; 4\}, \; x_1 + x_2 + \cdots + x_n\; 은 \; 5의 \; 배수\}$$ 라 하고, $A_n$ 의 원소의 개수를 $a_n$ 이라 하자. 예를 들면, $$A_1 = \emptyset\; (공집합), \; \; A_2 = \{(1, \; 4), \;(2, \; 3), \; (3, \; 2), \; (4, \; 1)\}$$ 이므로 $a_1=0, \; a_2=4$ 이다. 또한 $(1, \; 1, \; 3) \in A_3$ 이다. 1) $a_3$ 의 값을 구하시오.2) $n \ge 2$ 일 때, $a_n$ 과 ..
아래 그림과 같은 $7$ 개의 영역을 서로 다른 네 가지 색을 일부 또는 전부를 사용하여 색칠하는 경우의 수를 구하시오.(단, 이웃하는 영역은 서로 다른 색을 칠해야 하고, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) 정답 $56$ 색을 세 가지만 사용하는 경우4개의 색 중 3개를 선택하는 경우의 수는 ${}_4{\rm C}_3$, 다시 3개의 색 중 가운데 영역을 칠할 색을 선택하는 경우의 수는 $_3{\rm C}_1$ 이 됩니다. 만약 4개의 색 중 $A, \; B, \; C$ 3개의 색이 선택되고, 가운데 영역을 칠할 색으로 $A$가 선택되었다고 하면 영역을 모두 칠하는 방법은 아래 그림 처럼 한 가지 밖에 없습니다.$\therefore {}_4 {\rm C}_3 \times 3 =12$ 네 가지 ..
다음 그림과 같이 $z$ 축 위의 점 $\rm A(0, \; 0,\; 4)$ 에서 $xy$ 평면 위의 직선 $x=3$ 위의 점 $\rm P$ 를 거쳐 점 $\rm B(5, \; 4, \;0)$ 까지 이르는 거리의 최솟값을 $k$ 라고 할 때, $k^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $65$만약 점 $\rm A$ 가 $xy$ 평면 위의 점이었다면 쉽게 최단 거리를 구할 수 있을 것입니다. 그래서 생각해 볼 수 있는 것이 원뿔에서 모선의 길이는 항상 같다를 이용하여 점 $\rm A$ 를 $xy$ 평면으로 옮기는 것입니다. 그럼 어떻게 원뿔을 그려야 할까를 생각해보면, 아래 그림처럼 점 $(3, \; 0, \; 0)$ 을 중심으로 하고, 반지름의 길이는 $5$ 이면서 (중심에서 점 $\rm A$ 까지의 거리가 $..
세 함수 $f(x), \; g(x), \; h(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(1)=2, \; g(1)=1$ (나) 모든 실수 $x, \; y$ 에 대하여 $f(xy+1)=xg(y)+h(x+y)$ 이다. 실수 $t$ 에 대하여 함수 $$p(x)= \{ 2f(x)-g(x)-h(x) \}^2 - h(x) |x-t| \;\; (-1 \le x \le 1)$$ 의 최댓값을 $q(t)$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 함수 $y=|q(t)|$ 의 극값은 $2$개 존재한다. ㄴ. 함수 $y=|q(t)|$ 의 미분불가능한 점은 $4$ 개 존재한다. ㄷ. $\displaystyle \int_{-2}^2 q(t) dt = \int_{-1}^1 q(t) dt $ ① ㄴ ② ㄷ ③ ..
다음 그림과 같이 직사각뿔 $\rm A-BCDE$ 에서 밑면은 $\overline{\rm BC}=8$, $\overline{\rm BE}=6$ 인 직사각형이고, $\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=\overline{\rm AD}=\overline{\rm AE}=13$ 이다. 삼각형 $\rm ABE$ 를 포함하는 평면과 선분 $\rm AC$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라고 할 때, $\sin \theta = \dfrac{q}{p}\sqrt{10}$ 이라고 한다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $77$그림에서처럼 점 $\rm B$ 를 원점으로 하는 3차원 좌표축을 생각하자. 점 $\rm A$ 에서 $xy$ 평..