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수악중독
모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)>0$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $g(x)$ 에 대하여 함수 $H(x)$ 를 $H(x)=\displaystyle \int_{g(x)}^{f(x)} f(t) \; dt$ 라고 할 때, 함수 $f(x), \; g(x), \; H(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $H(1)=0$(나) 함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)$ 가 만나는 모든 점의 $x$ 좌표 값은 정수이다.(다) $x
미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음의 등식을 만족시킬 때, $f(1)$ 의 값을 구하시오.$$\displaystyle \int_0^x f(t) \; dt = x^3 - 3x^2 +x + \int_0^x tf(x-t)dt, \;\; f(0)=1$$ 정답 $e-6$
최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 집합 $S=\{ \alpha$ | 함수 $|f(x)-t|$ 가 $x=\alpha$ 에서 미분가능하지 않다.$\}$ 가 있다. 집합 $S$ 의 원소의 개수를 $g(t)$ 라 할 때, 함수 $f(x)$ 와 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\log_2 \{f(a)\}, \; \log_2\{f(b)\}, \; \log_2\{f(c)\}$ 는 같은 자연수이고, $ac
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $-1 \le x \le 1 $ 일 때 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 이다. (단, $a, \; b, \; c, \; d$ 는 상수)(나) $x \ge 1$ 일 때 $2f(x)-2f(x-1)=f'(x)$ 이다.(다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)+f(-x)=0$ 이다. $f(1)=2e^2$ 일 때, $\displaystyle \int_{-2}^2 | f(x) | \; dx = pe^2+qe^4$ ($p, \;q$ 는 유리수)이다. $p+q$ 의 값은? ① $8$ ② $10$ ③ $12$ ④ $14$ ⑤ $16$ 정답 ①
시각 $t \; (0 \le t \le \pi)$ 에서 미분가능한 함수 $f(t)$ 로 정의된 좌표평면 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 위치 $(x, \; y)$ 가 $$\left \{ \begin{array}{l} x=\cos^3t \\ y=f(t) \end{array}\right .$$ 이다. 시각 $t$ 에 대해 점 $\rm P$ 가 점 $(1, \; f(0))$ 으로부터 움직인 거리 $s$ 는 $s=\dfrac{3}{2} \left ( 1 - \sqrt[3]{x^2} \right )$ 을 만족하고 $f \left ( \dfrac{\pi}{2} \right )=1$ 일 때 $\displaystyle \int_{-1}^1 f(t)\;dx$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 하자. $M+m..
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $-1 \le x \le 4$ 에서 함수 $f(x)$ 는 다음과 같다.$$f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 2xe^{x^2-1}+2 & (-1 \le x
실수 $a$ 와 함수 $f(x)=\dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{1}{4}x^2 -c$ ($c>0$ 인 상수)에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\; dt$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $2$ 개가 되도록 하는 모든 $a$ 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$ ($m$ 은 자연수)이다. $a=\alpha_1$ 일 때, 함수 $g(x)$ 와 상수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=2$ 에서 극솟값을 갖는다.(나) $\displaystyle \int_{\alpha..
함수 $f(x)$ 는 최고차항의 계수가 $-1$ 인 사차함수이고 다음의 조건을 만족한다. (가) $f'(a)=f'(b)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$(나) $a \le x_1 < x_2 \le b $ 인 임의의 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $f(x_1) \le f(x_2)$ 이다. (다) $b-a=4\sqrt{3}$ 이때, $f'(a)$ 의 최솟값을 구하시오. 정답 $64$
함수 $f(x)=x^3-6x^2$ 와 실수 $t$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 다음과 같이 정의한다. $$g(x)=\left \{ \begin{array}{ll} f(x)-f(t) & (x
이 문제는 2017학년도 샤인미 모의고사 1회 30번 문제입니다. 풀이 영상 공유를 허락해 주신 출제자님께 감사드립니다. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(1)=g(1)$ (나) 세 실수 $a, \; b, \; c$ 와 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $0 \le x \le 1$ 일 때, $f(x+n)=g\left (\dfrac{a}{x-b}+cx \right ) +n$ 이다. 연속함수 $f'(x)$ 와 임의의 음이 아닌 두 실수 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $$\{ f'(x_1) - f'(x_2) \}(x_1-x_2) \ge 0$$일 때, $\displaystyle ..