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수악중독
집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6\}$ 에서 집합 $X$ 로의 함수 $f(x)$ 가 $$(f \circ f \circ f)(x)=x$$ 를 만족시킬 때, 함수 $f$ 의 개수를 구하시오. 정답 $81$
첫째항이 $10$ 인 수열 $\{a_n \}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_n < a_{n+1} ,\;\; \sum \limits_{k=1}^{n} \left ( a_{k+1} - a_k \right ) ^2 = 2 \left ( 1- \dfrac{1}{9^n} \right ) $$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} a_n $ 의 값을 구하시오. 정답 12
양수 $t$ 에 대하여 $\log t$ 의 지표와 가수를 각각 $f(t), \; g(t)$ 라 하자. 자연수 $n$ 에 대하여 $f(t)=9n \left \{ g(t)-\dfrac{1}{3} \right \}^2 -n$ 을 만족시키는 서로 다른 모든 $f(t)$ 의 합을 $a_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n^2}$ 의 값은? ① $4$ ② $\dfrac{9}{2}$ ③ $5$ ④ $\dfrac{11}{2}$ ⑤ $6$ 정답 ①
두 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ 이 모든 자연수 $k$ 에 대하여 $$b_{2k-1}= \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{a_1+a_3+\cdots+a_{2k-1}}, \;\; b_{2k}=2^{a_2+a_4+\cdots+a_{2k}}$$ 을 만족시킨다. $\{a_n\}$ 은 등차수열이고, $b_1 \times b_2 \times b_3 \times \cdots \times b_{10}=8$ 일 때, $\{a_n\}$ 의 공차는? ① $\dfrac{1}{15}$ ② $\dfrac{2}{15}$ ③ $\dfrac{1}{5}$ ④ $\dfrac{4}{15}$ ⑤ $\dfrac{1}{3}$ 정답 ③
단면의 넓이가 $120 \left (\rm m^2 \right)$ 로 일정한 원통형의 물탱크에 물이 $5(\rm m)$ 까지 차 있다. 이 물탱크의 바닥 중앙에 있는 넓이 $\dfrac{1}{5} \left (\rm m^2 \right)$ 인 구멍으로 물이 빠지고 있다. 물탱크의 바닥으로부터 수면까지의 높이가 $y(\rm m)$ 일 때, 빠져나가는 물의 속력 $v(\rm m/s)$ 는 $v=\sqrt{20y}$ 로 주어진다고 하자. 다음은 이 식을 이용해서 물의 높이가 $5(\rm m)$ 에서 $\dfrac{5}{4}(\rm m)$ 로 줄어들 때가지 걸리는 시간을 계산한 것이다.$v$ 와 $y$ 가 시간에 따라 변하므로 $v$ 와 $y$ 의 관계식 $v=\sqrt{20y}$ 를 $t$ 에 관하여 미분하여..
함수 $f(x)=\dfrac{1}{e}x^4-ex^2+c$ ($c$ 는 상수)와 실수 $a$ 에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\; dt$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 $x$ 축과 서로 다른 두 점에서만 만나도록 하는 모든 $a$ 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_n$ ($n$ 은 자연수) 이다. $a=\alpha_n$ 일 때, 함수 $g(x)$ 와 상수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=e$ 에서 극솟값을 갖는다.(나) $\displaystyle \int_{\alpha_n}^{\alpha_1} g(x)\; dx..
실수 $t$ 에 대하여 정의역이 $\{x \; | \; -1 \le x \le 1\}$ 인 함수 $f(x)=\left | x^2-tx-2 \right |$ 의 최댓값을 $g(t)$ 라 하자. 또한 함수 $g(t)$ 에 대해서 함수 $h(t)$ 가 $$h(t)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{1+\{g(t-1)-3\}^{2n}}$$ 과 같이 정의된다고 하자. 함수 $h(t)$ 가 $t=k$ 에서 불연속이 될 때, 모든 실수 $k$ 의 값의 합을 구하시오. 정답 $3$
함수 $f(x)=x^3+3x^2$ 에 대하여 두 함수 $g(t), \; h(t)$ 를 다음과 같이 정의한다. (가) 임의의 실수 $t$ 에 대하여 닫힌 구간 $[t-2, \; t]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최댓값이 $g(t)$ 이다.(나) 임의의 실수 $t$ 에 대하여 닫힌 구간 $ [t, \; t+2]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값이 $h(t)$ 이다. 함수 $g(t)$ 가 $t=\alpha$ 에서 미분불가능하고, 함수 $h(t)$ 가 $t=\beta$ 에서 미분불가능할 때, $\alpha + \beta$ 의 값은? ① $-3$ ② $-\dfrac{5}{2}$ ③ $-2$ ④ $-\dfrac{3}{2}$ ⑤ $-1$ 정답 ③
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $a, \; b, \; c$ 는 상수이고, $0
좌표공간에 원 $C\; :\; x^2+y^2=3, \; z=1$ 과 구 $S\; : \; (x-6)^2 +(y-8)^2 + (z-1)^2 = 9$ 가 있고, 원점 $\rm O$ 와 원 $C$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OP}$ 를 법선벡터로 하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 원 $C$ 의 중심 $\rm A$ 와 구 $S$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 선분 $\rm AQ$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 길이의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값을 구하시오. 정답 $15$