사인법칙&코사인법칙_난이도 중 (2022년 4월 전국연합 고3 15번)

그림과 같이 반지름의 길이가 $R \; \left (5<R<5\sqrt{5} \right )$ 인 원에 내접하는 사각형 $\rm ABCD$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 

 

(가) $\overline{\rm AB}=\overline{\rm AD}$ 이고 $\overline{\rm AC}=10$ 이다.

(나) 사각형 $\rm ABCD$ 의 넓이는 $40$ 이다.

 

다음은 선분 $\rm BD$ 의 길이와 $R$ 의 비를 구하는 과정이다.

 

$\overline{\rm AB}=\overline{\rm AD}=k$ 라 할 때

두 삼각형 $\rm ABC, \; ACD$ 에서 각각 코사인법칙에 의하여 $$\cos \left ( \angle \rm ACB \right ) = \dfrac{1}{20} \left ( \overline{\rm BC} + \dfrac{\boxed{ (가) }}{\overline{\rm BC}} \right )$$ $$\cos \left (\angle \rm DCA \right ) =\dfrac{1}{20} \left ( \overline{\rm CD} + \dfrac{\boxed{ (가) }}{\overline{\rm CD}} \right )$$이다. 

이때 두 호 $\rm AB, \; AD$ 에 대한 원주각의 크기가 같으므로 $\cos \left (\angle \rm ACB \right ) = \cos \left ( \angle \rm DCA \right )$ 이다.

사각형 $\rm ABCD$ 의 넓이는 두 삼각형 $\rm ABD, \; BCD$의 넓이의 합과 같으므로 $$\dfrac{1}{2} k^2 \sin \left ( \angle \rm BAD \right ) + \dfrac{1}{2} \times \overline{\rm BC} \times \overline{\rm CD} \times \sin \left ( \pi - \angle \rm BAD \right ) = 40$$ 에서 $\sin \left (\angle \rm BAD \right ) = \boxed{ (나) }$ 이다.

따라서 삼각형 $\rm ABD$ 에서 사인법칙의하여 $\overline{\rm BD}:R=\boxed{ (다 ) }:1$ 이다.

 

위의 (가)에 알맞은 식을 $f(k)$라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, \; q$ 라 할 때, $\dfrac{f(10p)}{q}$ 의 값은?

 

① $\dfrac{25}{2}$          ② $15$          ③ $\dfrac{35}{2}$          ④ $20$          ⑤ $\dfrac{45}{2}$

 

정답 ⑤