정적분 형태로 정의된 함수&넓이와 정적분_난이도 중상 (2020년 9월 교육청 고3 나형 29번)

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\displaystyle \int_0^x f(t)dt$$ 라 할 때, 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 함수 $g(x)$ 는 $x=\dfrac{8}{3}$ 에서 극값을 갖는다.

(나) $\displaystyle \int_0^1 g(x) dx = -\dfrac{13}{36}$

 

곡선 $y=g(x)$ 와 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S$ 라 할 때, $36S$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $256$