정적분으로 정의된 함수&그래프가 점대칭인 함수의 정적분_난이도 상

함수 $f(x)=\dfrac{1}{e}x^4-ex^2+c$  ($c$ 는 상수)와 실수 $a$ 에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\; dt$ 라 하자. 

함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 $x$ 축과 서로 다른 두 점에서만 만나도록 하는 모든 $a$ 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_n$ ($n$ 은 자연수) 이다. $a=\alpha_n$ 일 때, 함수 $g(x)$ 와 상수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$ 는 $x=e$ 에서 극솟값을 갖는다.

(나) $\displaystyle \int_{\alpha_n}^{\alpha_1} g(x)\; dx =k \times \alpha_n \times \int_0^e |f(x)|\; dx$

이때, $f(k)\times n \times f''(c)=pe^2-q$ 이다. $\dfrac{q}{p}$ 의 값을 구하시오.

정답 $4$