사차함수의 그래프 개형 & 미분불가능한 점_난이도 상

$t$ 가 실수일 때, 함수 $$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{{x^4} + 4{x^3} - 8{x^2} + n}&{\left( {x < t} \right)}\\{{x^4} + 4{x^3} - 8x^2}&{\left( {x \ge t} \right)}\end{array}} \right.$$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 가 $t= \alpha$ 에서만 미분가능하지 않도록 하는 자연수 $n$ 에 대하여 $n+\alpha$ 의 최댓값은 $p+\sqrt{6}$ 이다. 상수 $p$ 의 값을 구하시오.

정닺 $122$