이차부등식 & 부등식의 영역_난이도 상

모든 실수 $x$ 에대하여 이차부등식 $x^2-2(a-1)x+b-2\ge0$ 이 성립할 때, $a+b$ 의 최솟값은 $m$ 이다. $4m$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \;b$ 는 실수이다.)

정답 $11$

주어진 이차부등식이 모든 실수 $x$ 에 대해서 성립하려면 함수 $y=x^2-2(a-1)x+b-2$ 의 그래프가 $x$ 축 위쪽에서만 그려져야 한다. ($x$ 축에 접하는 것 까지는 괜찮음)

따라서 이차방정식 $x^2-2(a-1)x+b-2=0$ 의 판별식이 $0$ 보다 작거나 같아야 한다. $\dfrac{D}{4}=(a-1)^2-b+2\le 0$ $$b \ge (a-1)^2+2$$ 

또한 $a+b=k$ 라고 하면 아래 그림처럼 직선 $b=-a+k$ 가 곡선 $b=(a-1)^2+b$ 에 접할 때, 직선의 $y$ 절편 $k$ 가 최소가 된다.

$b=(a-1)^2+2$ 와 $b=-a+k$ 를 연립하면 이차방정식 $a^2-a+3-k=0$ 을 얻을 수 있고, 곡선과 직선이 접하기 위해서는 이 이차방정식이 중근을 가져야 한다. 즉, 이차방정식의 판별식이 $0$ 이 되어야 한다.

$$D=(-1)^2-12+4k=0$$

즉, $k=\dfrac{11}{4}$ 일때가 $a+b$ 의 값이 최소가 된다.

$\therefore m=\dfrac{11}{4}, \;\;\ 4m=11$