수학1_수학적 귀납법_난이도 상

다음은 \( n \) 부터 \( 2n -1 \) 개의 연속한 자연수의 합에 대하여

    \( n + ( n + 1 ) + ( n + 2 ) + \cdots + ( 3n-2 ) = (2n-1)^2 \)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

 

i) \( n=1 \) 일 때 , \( (좌변)=1 , \; (우변)=1^2 \) 이므로 성립한다.

ii) \( n=k \)일 때, 성립한다고 가정하면

    \( k + (k+1) + (k + 2) + \cdots + (3k-2) = (2k-1) ^2 \)

    \( n=k+1 \) 일 때 성립함을 보이자.

    \( (k+1)+(k+2)+\cdots+(가) \)

    \( =k+(k+1)+(k+2)+\cdots+(3k-2)+(나)\)

    \( =(2k-1)^2 + (나) \)

    \( =(다) \)

  그러므로 \( n = k+1 \) 일 때도 성립한다.

  i), ii) 에 의해서 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 성립한다.

 

이 증명에서 (가) ~ (다)를 바르게 짝지은 것은?

 

 

	\( (가) \)	\( (나) \)	\( (다) \)
①	\( 3k+1 \)	\( 8k \)	\( (2k+1)^2 \)
②	\( 3k+1 \)	\( 8k \)	\( 4k^2 \)
③	\( 3k+2 \)	\( 8k \)	\( (2k+1)^2 \)
④	\( 3k+2 \)	\( 4k-1 \)	\( (2k+1)^2 \)
⑤	\( 3k+2 \)	\( 4k-1 \)	\( 4k^2 \)

 

 

 

정답 ①